A járványterjedés matematikája

Mi a számsorozat következő tagja: 11, 8, 15, 12, 18, 28, 36, 20, 39? Teszi fel a látszólag egyszerű kérdést Simon Péter professzor. A matematika órákon ehhez hasonló sorozatokat állított össze a tanárunk oktatási céllal, ezért soha nem gondoltuk, hogy gyakorlati haszna is lehet ilyen sorozatok szabályán gondolkozni. "A fenti sorozat a jelenlegi járvány hazai fertőzöttjeinek számát tartalmazza az első néhány napon. Így mindjárt komolyabb tartalmat nyer a szabályok, összefüggések felismerésének készsége" - mondta Simon Péter. 

Hétköznapi sorozatok

• 123, 172, 472, 970, 1424, 1535, az okostelefon eladások millió darabban 2007-től két évenként,
• 623, 907, 1608, 3018, 4448, 6134, Földünk lakossága millió főben 1700-tól száz évenként,
• 650, 150, 90, 54, egy antibiotikum mennyisége a vérben milligrammban a gyógyszer bevétele után óránként,
• 8550, 8640, 8740, 8730, 8750, 8770, 8780, az OTP részvény árfolyama forintban 2017 március 16-án óránként.

Bármelyik sorozat esetében sokan sokat adnának azért, hogy a sorozat következő néhány tagját előre meg tudják mondani. "Iskolai emlékeink alapján azt gondoljuk, hogy pusztán a sorozat számainak hosszas „nézegetésével” fel lehet ismerni valami „misztikus” szabályt, amivel a további tagok kiszámolhatók" - teszi hozzá a professzor. A matematika azonban ennél összetettebb módszereket dolgozott ki az elmúlt néhány száz év során. 

Megszületik a kalkulus

Európában a XVII. századra érett meg az áttörés a fizikai folyamatok matematikai modellezése terén. Biztos sokan hallottunk Newton almájáról, vagy Galilei kísérletéről a Pisai ferde toronyban. Ekkor fedezték fel (egyesek szerint inkább kitalálták) a differenciál- és integrálszámítást - összefoglaló néven kalkulust - elsősorban a fizikai folyamatok leírását lehetővé tevő differenciálegyenletek bevezetése céljából.

Ezek olyan egyenletek, amelyekben az ismeretlen nem egy szám, hanem egy függvény,

például a toronyból leejtett tárgy helye az idő függvényében, vagy a Föld pályája a Nap körül, hogy az előbbi két tudós kutatásaihoz kapcsolódjunk. A bevezetésben említett számsorok megfejtése differenciálegyenleteken alapszik. 

A járványterjedés modellezése

A XX. század elején kidolgozott modell az egyedeket néhány csoportra osztja a fertőzés állapota szerint. A legegyszerűbb modell három csoportot különböztet meg:

• fogékonyak (jele S az angol susceptible szóból),
• fertőzők (I, infectious)
• gyógyultak (R, recovered vagy removed).

A járvány terjedése előtt az összes egyed fogékony, és a járvány néhány fertőző egyed megjelenésével kezdődik. A kérdés, hogy egy későbbi időpontban mennyi a fertőzöttek száma. Ekkor kerül a képbe a differenciálegyenlet, amely a folyamatot modellezi, azaz összefüggést ad az S, I és R megváltozása és ezek aktuális értéke között.

Ezen a 2016-os hazai influenza járvány adatai látszanak (piros körökkel), valamint a modellből kapott (közelítő) görbe. A vízszintes tengelyen az idő látszik napban a járvány januári indulásától számolva, a függőleges tengelyen pedig a fertőzöttek száma 100 ezer főre vetítve (tehát a teljes hazai népességben ez a szám százszor ekkora). Bár az influenzajárvány ellen van védőoltás, valamint annak folyamán ritkán alakul ki a COVID-19 járványhoz hasonló intenzív ellátási igény, a terjedés alapvető törvényszerűségei hasonlóak a két esetben.

A modell valamennyire jó közelítést ad a járvány folyamatáról, de láthatjuk, hogy nem tud minden adatot pontosan visszaadni.

Megfigyelhető, hogy a fertőzöttek száma emelkedik egy darabig, majd csökkenni kezd és kb. 20 hét alatt a járvány véget ért. Az R értékét is ábrázolva láthatjuk, hogy hányan estek át a betegségen a járvány teljes lefolyása során. Erre itt kb. 18 000-et kapunk, az említett 100 ezer főre vetítve, azaz nagyjából a lakosság hatod része esett át abban az évben az influenzán.

Egyre pontosabb modellekkel dolgoznak

A fenti modell az első hetekben nagyobb fertőzöttséget jelez, mint az adatok. Másképp nézve, ha valaki ez első néhány hét adatai alapján határozná meg a modell paramétereit, akkor kisebb járványt jósolna. Ez arra sarkallja az epidemiológiai szakembereket, és a matematikusokat, hogy pontosabb modellt készítsenek. A pontosabb modell rendszerint több csoportra osztja a társadalmat, például

korosztályokat hoz létre az S, I és R kategóriákon belül, vagy terület szerint is felbontja a teljes populációt kisebb részekre.

Ezek a modellek már több egyenletből állnak - ezért tudnak pontosabb előrejelzést adni - viszont emiatt több paramétert is tartalmaznak, amelyeket az adatokból nem könnyű pontosan meghatározni. A legrészletesebb modell a társadalom minden egyes tagját külön kezeli, és valamilyen módon az emberek közötti kapcsolatokat is figyelembe veszi, ezért hálózati modellnek is nevezik, és a hálózattudomány modern eszköztárán alapszik.

A matematikusok szerepe a koronavírus elleni harcban

A jelenlegi járvány modellezésére már számtalan variáció született, és sokan sokféle módon próbálják előre jelezni a járvány lefolyását, valamint segíteni a döntéshozókat. Amíg a védőoltás nem elérhető, addig a védekezés stratégiája a járványgörbe ún. ellaposítása. Tehát a cél, hogy a fenti görbe maximuma ne érjen el olyan nagy értéket, ami túlterheli az egészségügyi ellátórendszert. A görbét a modellben szereplő paraméterek módosításával tudjuk befolyásolni. Az egyik fontos paraméter azt adja meg, hogy egy fertőzött hány másiknak adja tovább a fertőzést, ezt igyekeznek a hatóságok a korlátozásokkal csökkenteni. Természetesen az összetett modellekben ez nem egyetlen paraméter, hiszen különbözhet korosztályonként és területenként, de akár munkahelyenként is.

A mostani kutatások tárgya éppen az, hogy ezek a modellek mennyire illeszkednek jól az adatokhoz,

és a folyamat irányításában hogyan használhatók, milyen korlátozások bevezetését mutatják leghatékonyabbnak. Ezeken felül, ha az oltóanyag elkészül, akkor annak eldöntésében is segítenek, hogy a társadalom mely csoportjait milyen sorrendben célszerű beoltani, hogy minél hamarabb visszatérhessen az élet a megszokott kerékvágásba. A kérdések látszólag egyszerűek, azonban az egyre összetetteb modellek létrehozása és vizsgálata számos kutatónak jelent kihívást.

Egyre nagyobb szükség van matematikusokra

Mai, technológiai társadalmunk működése így elképzelhetetlen az összetett matematikai modellek használata nélkül. A matematikusok ilyen folyamatok megértésében, előrejelzésében és irányításában tudnak segítséget nyújtani. Simon professzor elmondta,

az ELTE-n végzett matematikusok könnyedén el tudnak helyezkedni kiváló munkahelyeken.

Többek között a diploma értékének és az oktatás minőségének is köszönhető, hogy a pályaválasztó fiatalok körében egyre népszerűbb az ELTE matematika alapszakja: idén több mint 10% -kal nőtt első helyen jelentkezett hallgatók száma.

Simon L. Péter az Eötvös Loránd Tudományegyetem Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszékének tanszékvezető egyetemi tanára, az ELTE Matematikai Intézetének igazgatója, a Bolyai János Matematikai Társulat főtitkára. 1966-ban született. 1990-ben matematika szakon szerzett diplomát az ELTE-n, majd ugyanitt 1993-ban egyetemi doktori fokozatot. Azóta, két év Nagy-Britanniában a Leedsi Egyetemen töltött kutatómunkát kivéve, az ELTE-n dolgozik. MTA doktori címét 2014-ben szerezte. Fő kutatási területei a differenciálegyenletek és a hálózati folyamatok. Ezekből a témakörökből mintegy 90 angol nyelvű folyóiratcikke jelent meg. Társszerzője a Mathematics of Epidemics on Networks című könyvnek. Az Eötvös Loránd Tudományegyetemen 1990 óta oktat analízissel és differenciálegyenletekkel kapcsolatos tárgyakat.

Kapcsolódó cikkek

• Simon Péter és szerzőtársai a Mathematics of Epidemics on Networks c. könyvükben a járványterjedés hálózatelméleti megközelítéséről írnak.
• The algorithmic CEO